Parabola

Es el conjunto de todos los puntos "P" en el plano que estan a la misma distancia de un punto fijo "F" y una linea fija "D". El punto "F" se llama foco de la parabola y la linea "D" se llama directriz. una parabola es, entonces, el conjunto de puntos para los cuales:

                                                                              Ecuacion (1)

Donde d = distancia, F = foco, P = punto, D = directriz 

Esta ecuacion da a entender que la distancia desde el foco al punto sera igual a la distancia desde el punto a la directriz.



Ahora una grafica de la parabola 

                                              figura -1, parabola con centro (0,0), foco (0,2), puntos (2,4) y (2,-4)


En la grafica la linea que pasa por el foco se llama eje de simetria y ademas es perpendicular a la directriz. El punto de interseccion de la parabola con su eje de simetria se llama vertice o V. El vertice esta a mitad de distancia entre el foco y la directriz, esta distancia sera conocida como a lo que significa que la distancia del foco a la directriz sera 2a.

Para obtener la ecuacion de la parabola debemos satisfacer la ecuacion (1) entonces:

Se uso la formula de la distancia entre dos puntos que vimos en el blog de linea recta. de esta manera la distancia del punto al foco es igual a la distancia del punto a la directriz.

para continuar: 

Elevamos ambos lados del igual al cuadrado para cancelar la raiz y de esta manera queda:

Radical se cancela con potencia y da esto, despues:

Aplicando productos notables obtenemos esta ecuacion sin embargo no es el final, para terminar:

                                                                             Ecuacion (2)

Despejamos Y  para obtener un sistema rectangular de coordenadas, es decir la ecuacion para ubicar los puntos en un plano cartesiano de manera que se logre plasmar la figura geometrica deseada, los terminos semejantes se cancelan unos con otros a excepcion del ultimo ya que (-2ax + 2ax = 4ax). y esa es estructura de la ecuacion de una parabola.

sin embargo existen variaciones de la estructura debido al cambio del eje de simetria o a su lado de apertura (hacia donde se abren). Estas son:

En esta tabla se muestran cada una de las ecuaciones segun su eje de simetria y su lado de apertura determinando tambien la forma del foco y de la directriz, sin embargo estas son unicamente las que poseen su vertice en (0,0).

Esta segunda tabla muestra la estructura de las ecuaciones con vertice (h,k) segun sus ejes de simetria y su lado de apertura, tambien muestra la forma del foco y la directriz.

Ejemplo 1

  analice la ecuacion 

De aqui podemos deducir que la ecuacion esta de la forma

Esto significa que a = 1 ya que 4a = 4 eso significa que el foco se encuentra en (0,1). De aqui tambien podemos deducir que es una paralela cuyo vertice es (0,0) observando la tabla, su eje de simetria es x y se abre hacia la derecha,  ya que x = -a, la directriz sera -1 vertical. Los puntos los obtendremos haciendo que x = 1 entonces la ecuacion quedara de la siguiente manera:

Ahora graficaremos esta parabola y quedara de la siguiente manera 

                                             Grafica -2 parabola ejemplo 1,vertice (0,0), puntos (1,2) y (1,-2) 

Ejemplo 2

Encontrando la ecuacion

Encuentre la ecuacion de la parabola si su foco es (0,-1); su directriz es linea Y = 1 

De aqui podemos deducir que la parabola tiene su vertice en (0,0), ya que esta a mitad de distancia  entre los dos, tambien podemos sacar que su eje de simetria se encuentra en el eje Y ya que el foco se encuentra en ese mismo eje, segun la tabla es factible afirmar que la ecuacion se vea de la forma

De aqui podemos saber que a = 1, ya que conocemos la distancia entre el foco y el vertice, y la ecuacion de esta parabola quedara de la siguiente manera 

Ahora la grafica de la ecuacion

                                Grafica -3, parabola ejemplo 2, vertice (0,0), foco (0,-1), puntos (2,-1) y (-2,-1)
                                                

Ejercicios de Aplicacion 

Encuentre la ecuacion de la parabola descrita. Encuentre los dos puntos que definen el lado recto y grafique la ecuacion.

• foco en (4,0); vertice en (0,0)
• foco en (0,-3); vertice en (0,0)
• foco en (-2,0); directiz: linea X = 2
• foco en (-4,0); vertice en (0,0) 
• directriz linea X = 1/2; vertice (0,0)

Ahora un video acerca de la parabola

Hiperbola

Es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la diferencia de sus distancias desde los puntos fijos llamados focos es una constante.
Existen ciertos factores que determinan a una hiperbola, estos son:

• el eje transversal que es la linea que contiene los focos.
• el centro, punto medio del segmento de la linea que une los focos.
• el eje conjugado que es la linea que pasa por el centro y es perpendicular al eje transversal-
• las ramas, que son dos lineas curvas y ademas simetricas respecto al eje transversal. al eje conjugado y al centro; la hiperbola consiste en las ramas.
• los vertices, que son los dos puntos de interseccion de la hiperbola con el eje transversal. 

Ahora una grafica de la hiperbola

                                                     Grafica de la hiperbola centro (0,0) 

La ecuacion de la hiperbola viene del siguiente proceso 

                                                                    Ecuacion (1)



esta es la ecuacuion que las coordenadas de p ( un punto aleatorio de la hiperbola debe satisfacer ) comenzando por 

aqui se utilizo la formula de distancia entre dos puntos y satisface la ecuacion (1).

 

 

 

 

Los siguientes 2 problemas contienen un error ( el a´2 y´2 va en negativo)

Ahora todo se divide sobre el otro lado del igual 

Para el final la ecuacion de la hiperbola

En cuanto a la hiperbola con centro (h,k) expondre la siguiente tabla 

 En la tabla se puede ver cual es la estructura de la ecuacion de la hiperbola segun la forma de sus focos, vertices, sus asintotas y su eje transversal,

Ejemplo

Encuentre la ecuacion de una hiperbola con centro en el origen, foco en (3,0), vertice en (-2,0).

Grafique la ecuacion.

para empezar debemos reconocer c, c es igual a la distancia del foco al centro, eso nos dice que c = 3, ahora podemos deducir que a = 2 ya que a es igual a la distancia del vertice al foco, al saber tambien que b´2 = c´2 - a´2 podemos decir que b sera igual a la raiz cuadrada de 9 - 4. 

 Dada la estructura de la ecuacion de la hiperbola podemos deducir que la ecuacion será 

 Ahora la grafica

                                                    Grafica 2, hiperbola ejemplo 1- centro (0,0), foco (3,0), vertice (-2,0)

Ejercicios de aplicacion 

• encuentre la ecuacion de la hiperbola con centro (0,0), foco (-5,0), vertice (1,0). grafique la ecuacion.
• encuentre la ecuacion de la hiperbola con centro (0,0), foco (-3,0), vertice (2,0). grafique la ecuacion
• encuentre la ecuacion de la hiperbola con centro (0,0), foco (-3,0), vertice (1,0). grafique la ecuacion 
• encuentre la ecuacion de la hiperbola con centro (0,0), foco (0,9), vertice (0,-4). grafique la ecuacion

Ahora un video acerca de hiperbola

Trigonometria icfes

 Circunferencia.

es un lugar geometrico de un conjunto de infinitos puntos que equdistan de un punto situado llamado centro.

Elementos de una circunferencia 

PROPIEDADES BASICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente 

-Radio o diametro perpendicular a una cuerda la biseca ( divide en dos segmentos congruentes ) 

-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas 

-A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes 

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 

-Circunferencias concentricas: tienen el mismo centro

-Circunferencias exteriores: no tienen un punto comun 

-Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto comun que es la tangencia

-Circunferencias tangentes interionres: tienen un punto comun que es el de tangencia 

-Circunferencias secantes: tienen dos puntos en comun conocidos como intersecciones

-Circunferencias ortogonales: los radios son perpendiculares en el punto de interseccion 

-Circunferencias interiores: no tienen puntos comunes

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

1. Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.

2. Tangentes exteriores: son congruentes 

3. Tangentes interiores: son congruentes 

TEOREMA DE PONCELET


En todo triangulo o rectangulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.

TEOREMA DE PITOT 


En todo cuadrilatero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 


-Medida del angulo central: es igual a la medida del arco al que se opone 

-Medida del angulo interior: es igual a la semisuma de los arcos opuestos

-Medida del angulo inscrito: es la mitad de la medida del arco opuesto 

-Medida del angulo semi-inscrito: es igual a la medida del arco opuesto 

-Medida del angulo ex-inscrito: es igual a la mitad de la medida del arco ABC 

 

-Angulos exteriores:

-Medida del angulo formado por dos rectas tangentes: es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos

-Angulo formado por dos rectas secantes:es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos

-Angulo formado por una recta tangente y otra secante: es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos  

Bibliografia:
http://www.slideshare.net/mpz/circunferencia-ab-presentation