Parabola

Es el conjunto de todos los puntos "P" en el plano que estan a la misma distancia de un punto fijo "F" y una linea fija "D". El punto "F" se llama foco de la parabola y la linea "D" se llama directriz. una parabola es, entonces, el conjunto de puntos para los cuales:

                                                                              Ecuacion (1)

Donde d = distancia, F = foco, P = punto, D = directriz 

Esta ecuacion da a entender que la distancia desde el foco al punto sera igual a la distancia desde el punto a la directriz.



Ahora una grafica de la parabola 

                                              figura -1, parabola con centro (0,0), foco (0,2), puntos (2,4) y (2,-4)


En la grafica la linea que pasa por el foco se llama eje de simetria y ademas es perpendicular a la directriz. El punto de interseccion de la parabola con su eje de simetria se llama vertice o V. El vertice esta a mitad de distancia entre el foco y la directriz, esta distancia sera conocida como a lo que significa que la distancia del foco a la directriz sera 2a.

Para obtener la ecuacion de la parabola debemos satisfacer la ecuacion (1) entonces:

Se uso la formula de la distancia entre dos puntos que vimos en el blog de linea recta. de esta manera la distancia del punto al foco es igual a la distancia del punto a la directriz.

para continuar: 

Elevamos ambos lados del igual al cuadrado para cancelar la raiz y de esta manera queda:

Radical se cancela con potencia y da esto, despues:

Aplicando productos notables obtenemos esta ecuacion sin embargo no es el final, para terminar:

                                                                             Ecuacion (2)

Despejamos Y  para obtener un sistema rectangular de coordenadas, es decir la ecuacion para ubicar los puntos en un plano cartesiano de manera que se logre plasmar la figura geometrica deseada, los terminos semejantes se cancelan unos con otros a excepcion del ultimo ya que (-2ax + 2ax = 4ax). y esa es estructura de la ecuacion de una parabola.

sin embargo existen variaciones de la estructura debido al cambio del eje de simetria o a su lado de apertura (hacia donde se abren). Estas son:

En esta tabla se muestran cada una de las ecuaciones segun su eje de simetria y su lado de apertura determinando tambien la forma del foco y de la directriz, sin embargo estas son unicamente las que poseen su vertice en (0,0).

Esta segunda tabla muestra la estructura de las ecuaciones con vertice (h,k) segun sus ejes de simetria y su lado de apertura, tambien muestra la forma del foco y la directriz.

Ejemplo 1

  analice la ecuacion 

De aqui podemos deducir que la ecuacion esta de la forma

Esto significa que a = 1 ya que 4a = 4 eso significa que el foco se encuentra en (0,1). De aqui tambien podemos deducir que es una paralela cuyo vertice es (0,0) observando la tabla, su eje de simetria es x y se abre hacia la derecha,  ya que x = -a, la directriz sera -1 vertical. Los puntos los obtendremos haciendo que x = 1 entonces la ecuacion quedara de la siguiente manera:

Ahora graficaremos esta parabola y quedara de la siguiente manera 

                                             Grafica -2 parabola ejemplo 1,vertice (0,0), puntos (1,2) y (1,-2) 

Ejemplo 2

Encontrando la ecuacion

Encuentre la ecuacion de la parabola si su foco es (0,-1); su directriz es linea Y = 1 

De aqui podemos deducir que la parabola tiene su vertice en (0,0), ya que esta a mitad de distancia  entre los dos, tambien podemos sacar que su eje de simetria se encuentra en el eje Y ya que el foco se encuentra en ese mismo eje, segun la tabla es factible afirmar que la ecuacion se vea de la forma

De aqui podemos saber que a = 1, ya que conocemos la distancia entre el foco y el vertice, y la ecuacion de esta parabola quedara de la siguiente manera 

Ahora la grafica de la ecuacion

                                Grafica -3, parabola ejemplo 2, vertice (0,0), foco (0,-1), puntos (2,-1) y (-2,-1)
                                                

Ejercicios de Aplicacion 

Encuentre la ecuacion de la parabola descrita. Encuentre los dos puntos que definen el lado recto y grafique la ecuacion.

• foco en (4,0); vertice en (0,0)
• foco en (0,-3); vertice en (0,0)
• foco en (-2,0); directiz: linea X = 2
• foco en (-4,0); vertice en (0,0) 
• directriz linea X = 1/2; vertice (0,0)

Ahora un video acerca de la parabola